Keputusan Di Bawah Risiko: Probabilitas dan Ekspektasi

Ada banyak alasan berbeda untuk bermain poker karena ada pemain yang memainkan permainan. Beberapa bermain untuk alasan sosial, untuk merasa menjadi bagian dari kelompok atau “salah satu dari laki-laki”, beberapa bermain untuk rekreasi, hanya untuk bersenang-senang. Banyak yang bermain untuk menikmati kompetisi. Yang lain lagi – berbaring untuk memuaskan kecanduan judi atau untuk menutupi rasa sakit lain dalam hidup mereka. Salah satu kesulitan mengambil pendekatan matematis untuk alasan ini adalah sulit untuk mengukur nilai bersenang-senang atau rasa memiliki.

Selain beberapa alasan yang lebih samar dan sulit untuk diukur untuk bermain poker, mungkin juga ada insentif keuangan tambahan yang tidak tercakup dalam permainan itu sendiri. Misalnya, pemenang acara kejuaraan World Series of Poker hampir dijamin akan menuai rejeki nomplok dari dukungan, penampilan, dan sebagainya, di atas dan di atas hadiah pertama yang besar.

Ada pertimbangan lain untuk pemain di meja poker juga; mungkin kehilangan tangan tambahan akan menjadi pukulan psikologis yang signifikan. Meskipun kami mungkin mengkritik pandangan ini sebagai tidak rasional, itu tetap harus menjadi faktor dalam pemeriksaan menyeluruh tentang insentif untuk bermain poker. Bahkan jika kami membatasi penyelidikan kami pada imbalan uang, kami menemukan bahwa preferensi untuk uang adalah non-linear. Bagi kebanyakan orang, memenangkan lima juta dolar jauh lebih berharga (atau memiliki lebih banyak lagi) kegunaan) dari peluang 50 °/o untuk memenangkan sepuluh juta; lima juta dolar adalah uang yang mengubah hidup bagi sebagian besar orang, dan nilai marjinal dari tambahan lima juta jauh lebih kecil.

Dalam arti yang lebih luas, semua masalah ini termasuk dalam teori utilitas cabang ilmu ekonomi. Ahli teori utilitas berusaha untuk mengukur preferensi individu dan menciptakan kerangka kerja di mana insentif finansial dan non-finansial dapat dibandingkan secara langsung. Pada kenyataannya, itu adalah utilitas yang ingin kita maksimalkan saat bermain poker (atau sebenarnya, saat melakukan sesuatu yang melelahkan). Namun, penggunaan teori utilitas sebagai dasar analisis menghadirkan kesulitan; setiap individu memiliki kurva utilitasnya sendiri sehingga analisis umum menjadi sangat sulit.

Dalam buku ini, kami akan menahan diri dari mempertimbangkan utilitas dan sebaliknya menggunakan uang yang dimenangkan dalam permainan sebagai proxy untuk utilitas. Di bagian teori bankroll di Bagian IV, kita akan melihat secara mendalam pertimbangan meta-game tertentu, memperkenalkan konsep-konsep seperti risiko kehancuran, kriteria Kelly, dan kepastian yang setara. Semua ini adalah ukuran risiko yang terutama berkaitan dengan faktor-faktor di luar permainan. Namun, kecuali jika dinyatakan secara tegas, kami akan menganggap sebagai premis bahwa para pemain memiliki cukup uang untuk permainan yang mereka mainkan, dan bahwa satu-satunya tujuan mereka adalah untuk memaksimalkan uang yang akan mereka menangkan dengan membuat keputusan terbaik di setiap titik.

Memaksimalkan total uang yang dimenangkan dalam poker mengharuskan pemain memaksimalkan nilai yang diharapkan dari keputusannya. Namun, sebelum kita dapat secara masuk akal memperkenalkan konsep landasan ini, pertama-tama kita harus meluangkan waktu untuk membahas konsep probabilitas yang mendasarinya. Materi berikut berhutang besar pada teks Richard Epstein Teori Perjudian dan Logika Statistik (1967), buku dasar yang berharga tentang probabilitas dan perjudian.

Kemungkinan

Sebagian besar keputusan dalam poker terjadi dalam kondisi di mana hasilnya belum ditentukan. Ketika dealer membagikan kartu di awal, kartu para pemain tidak diketahui, setidaknya sampai mereka diamati. Namun kami masih memiliki beberapa informasi tentang isi tangan pemain lain. Aturan permainan membatasi isi tangan mereka-sementara seorang pemain dapat memegang jack-sepuluh hati, ia tidak dapat memegang as-pangeran meja biliar, misalnya. Komposisi setumpuk kartu diatur sebelum memulai dan memberi kita informasi tentang tangan.

Pertimbangkan tangan holdem. Berapa peluang bahwa tangan itu berisi dua kartu As? Anda mungkin sudah tahu jawabannya, tetapi pertimbangkan apa artinya jawabannya. Bagaimana jika kita menangani satu juta tangan seperti ini? Berapa banyak pasangan ace yang akan ada? Bagaimana jika kita membagikan sepuluh juta? Seiring waktu dan banyak percobaan, rasio pasangan kartu As dengan total tangan yang dibagikan akan bertemu pada nomor tertentu. Kami mendefinisikan kemungkinan sebagai nomor ini. Probabilitas adalah kunci pengambilan keputusan dalam poker karena memberikan kerangka matematika yang dengannya kita dapat mengevaluasi kemungkinan peristiwa yang tidak pasti.

Jika n percobaan dari suatu eksperimen (seperti membagikan tangan holdem) menghasilkan tidak terjadinya suatu peristiwa x, kita tentukan probabilitasnya P dari x terjadi p{x) sebagai berikut:

Sekarang kebetulan bahwa kemungkinan satu tangan holdem menjadi sepasang ace adalah 1/221.

Kita tentu saja dapat mencegahnya dengan membagikan sepuluh miliar tangan dan mengamati

rasio pasangan ace, untuk total tangan yang dibagikan. Kaleng, bagaimanapun, akan menjadi proses yang panjang dan sulit, dan kita dapat melakukan lebih baik dengan memecah masalah menjadi beberapa komponen. Pertama kita anggap hanya satu kartu. Berapa probabilitas bahwa satu kartu adalah kartu As? Bahkan masalah ini dapat dipecah lebih lanjut – berapa probabilitas bahwa satu kartu adalah as sekop?

Pertanyaan terakhir ini dapat dijawab secara langsung. Kami membuat asumsi berikut:

  • Ada lima puluh dua kartu di dek standar.
  • Setiap kartu yang mungkin memiliki kemungkinan yang sama.

Maka peluang terambilnya kartu tertentu adalah 1/52. Jika peluang kartu tersebut menjadi kartu as sekop adalah 1/52, berapa peluang kartu tersebut menjadi kartu as? Ini setara dengan peluang bahwa kartu tersebut adalah as sekop ATAU itu adalah as hati ATAU bahwa itu adalah as berlian ATAU bahwa itu adalah as klub. Ada empat ace di dek, masing-masing dengan peluang 1/52 untuk menjadi kartu, dan menjumlahkan probabilitas ini, kita memiliki:

Kita dapat menjumlahkan probabilitas ini secara langsung karena saling eksklusif; yaitu, tidak ada kartu yang secara bersamaan dapat menjadi as sekop dan as hati. Perhatikan bahwa probabilitas 1/13 persis sama dengan rasio (jumlah kartu As di geladak)/(jumlah kartu total). Hubungan ini berlaku sama baiknya dengan penjumlahan probabilitas individu.

Acara Independen

Beberapa peristiwa, bagaimanapun, tidak saling eksklusif. Pertimbangkan misalnya, dua peristiwa ini:

  1. Kartu itu adalah hati
  2. Kartunya adalah as.

Jika kita mencoba mencari kemungkinan bahwa satu kartu adalah hati ATAU itu adalah as, kita menemukan ada tiga belas hati di dek dari lima puluh kartu, jadi peluang kartu itu adalah hati adalah 1/4 . Peluang kartu tersebut adalah kartu As, seperti sebelumnya, 1/13.

Namun, kita tidak bisa begitu saja menambahkan probabilitas ini seperti sebelumnya, karena mungkin saja sebuah kartu adalah kartu as dan hati.
Ada dua jenis hubungan antara peristiwa. Jenis pertama adalah peristiwa yang tidak berpengaruh satu sama lain. Misalnya, nilai penutupan indeks saham NASDAQ dan nilai dadu pada lemparan tertentu di meja dadu di kasino di Monaco malam itu pada dasarnya adalah peristiwa yang tidak berhubungan; tidak satu pun harus memengaruhi yang lain dengan cara apa pun yang tidak dapat diabaikan. Jika peluang kedua peristiwa yang terjadi sama dengan hasil kali peluang individu, maka peristiwa tersebut dikatakan Mandiri. Peluang terjadinya A dan B disebut probabilitas bersama dari A dan B

Dalam kasus ini, peluang gabungan sebuah kartu menjadi hati dan kartu as adalah (1/13)(1/4), atau 1/52. Ini karena fakta bahwa kartu itu adalah hati tidak mempengaruhi kemungkinan bahwa itu adalah as – keempat suit memiliki set kartu yang sama.

Peristiwa independen tidak saling eksklusif kecuali ketika salah satu peristiwa memiliki probabilitas nol. Dalam contoh ini, jumlah hati di geladak adalah tiga belas, dan total kartu as di geladak adalah empat. Namun, dengan menambahkan ini bersama-sama, kami menghitung dua kali satu kartu tunggal (as hati). Sebenarnya ada tiga belas hati dan tiga kartu as lainnya, atau jika Anda mau, empat kartu as, dan dua belas hati lainnya. Ternyata penerapan umum dari konsep ini adalah bahwa peluang terjadinya paling sedikit satu dari dua kejadian A dan B yang saling tidak eksklusif adalah jumlah dari peluang A dan B dikurangi peluang gabungan A dan B. Jadi peluang terambilnya kartu adalah hati atau sebuah kartu as sama dengan peluang menjadi hati (1/52) ditambah peluang menjadi kartu as dikurangi peluang menjadi keduanya (1/52), atau 4/13. Hal ini berlaku untuk semua peristiwa, independen atau dependen.


Tampilan Postingan:
1

Author: Billy Walters